Question

程先生买了一套总价为80万元住房，首付30万元，其余50万元向银行申请贷款，贷款月利率0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30年还清．问程先生每月应还款多少元（精确到0.01元）．
（注：如果上个月欠银行贷款a元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额x元，此时贷款余额为a（1+0.5%）-x元）

Answer

设程先生在第n 个月时还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，然后根据题意建立递推关系，构造新数列为等比数列，求出通项公式，根据a360=0建立方程，求出x即可得到所求．
【解析】
设程先生在第n 个月时还欠银行贷款an万元，每月固定还款x万元，则
an=an-1（1+0.5%）-x，a=50            …（5分）
an+k=1.005（an-1+k）
an=1.005an-1+0.005k
所以 k=-200x，{ an-200x }是公比为1.005的等比数列      …（8分）
即  an-200x=（a-200x）•1.005n．
由a360=0得     0-200x=（50-200x）•1.005360．…（13分）
利用计算器可以求得  x=0.299775万元，即每月还款2997.75元…（16分）