Question

已知函数为偶函数，为奇函数，其中a、b为常数，则（a+b）+（a²+b²）+（a³+b³）+…+（a¹⁰⁰+b¹⁰⁰）=    ．

Answer

由奇偶函数的定义列出关于a、b的方程组，求出它们的和与积的值，在转化为对应一元二次方程的根，进而求出复数a和b，再利用和与积的值和a3=b3=1求出a2+b2，a3+b3，a4+b4等，找出具有周期性T为3，再利用周期性求出式子的和．
【解析】
∵f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，
∴，
即 ，
解得 ；
∴复数a、b是方程x2+x+1=0的两个根，
解得，a=-+i，b=--i；
∴a3=b3=1
已知a+b=-1，ab=1；则a2+b2=（a+b）2-2ab=-1，a3+b3=2，
同理可求a4+b4=-1，a5+b5=-1，a6+b6=2，…，归纳出有周期性且T=3，
∴（a+b）+（a2+b2）+（a3+b3）+…+（a100+b100）=99[（a+b）+（a2+b2）+（a3+b3）]+（a+b）=-1．
故答案为：-1．