Question

已知：x∈N^*，y∈N^*，且 （n∈N^*）．
（Ⅰ）当n=3时，求x+y的最小值及此时的x、y的值；
（Ⅱ）若n∈N^*，当x+y取最小值时，记a_n=x，b_n=y，求a_n，b_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设S_n=a₁+a₂+…+a_n，T_n=b₁+b₂+…+b_n，试求的值．
注：．

Answer

（Ⅰ）当n=3时，则有则可求最小值及此时的x，y的值，
（Ⅱ）由可得，当时取等号的条件可得an，bn
（Ⅲ）利用等差数列的求和公式可得Sn=a1+a2+…+an，利用分组组求和及等差、等比数列的求和公式可求Tn=b1+b2+…+bn，代入可求极限
【解析】
（Ⅰ）当n=3时，则有
∴，
当且仅当，即时，取等号．所以，当时，x+y的最小值为16．
（Ⅱ）∵，，∴，
当且仅当，即时，取等号．所以，an=n+1，bn=n（n+1）．
（Ⅲ）因为Sn=a1+a2+…+an=，
Tn=b1+b2+…+bn=（1+12）+（2+22）+（3+32）+…+（n+n2）=（1+2+3+…+n）+（12+22+…+n2）==
所以．