Question

设函数，函数，其中a为常数且a＞0，令函数f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函数f（x）的表达式，并求其定义域；
（2）当时，求函数f（x）的值域；
（3）是否存在自然数a，使得函数f（x）的值域恰为？若存在，试写出所有满足条件的自然数a所构成的集合；若不存在，试说明理由．

Answer

（1）求出函数f（x）的表达式，由g（x），h（x）的定义域求解函数f（x）的定义域．
（2）当时，函数f（x）的定义域即可确定，利用换元和基本不等式求最值即可；
（3）结合（2）利用函数的值域求出关于a的表达式，求出a的范围即可．
【解析】
（1），其定义域为[0，a]；（2分）
（2）令，则且x=（t-1）2
∴（5分）
∴
∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴在上递增，即此时f（x）的值域为（8分）
（3）令，则且x=（t-1）2∴
∵在[1，2]上递减，在[2，+∞）上递增，
∴y=在[1，2]上递增，上递减，（10分）
t=2时的最大值为，（11分）
∴a≥1，又1＜t≤2时
∴由f（x）的值域恰为，由，解得：t=1或t=4（12分）
即f（x）的值域恰为时，（13分）
所求a的集合为{1，2，3，4，5，6，7，8，9}．（14分）