Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2（）²a_n
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=（An²+Bn+C）•2ⁿ，是否存在常数A、B、C，使对一切n∈N^*，均有a_n=b_n+1-b_n成立？若存在，求出常数A、B、C的值，若不存在，说明理由
（3）求证：a₁+a₂+…+a_n≤（n²-2n+2）•2ⁿ，（ n∈N^*）

Answer

（1）用n=1、n=2、n=3、…，一共n-1个值代入式子：an+1=2（）2an得到n-1个等式，将此n-1个等式相乘，就可以得到an=2n-1n2a1=2n•n2；
（2）根据bn=（An2+Bn+C）•2n，得到bn+1=（A（n+1）2+B（n+1）+C）•2n+1，再将bn+1-bn进行化简，整理得
（An2+（4A+B）n+2A+2B+C）•2n，最后根据An2+（4A+B）n+2A+2B+C=2n恒等，采用比较系数法，可得A、B、C的值；
（3）采用数学归纳法，先验证n=1时不等式的等号成立，然后假设n=k（n≥2）时不等式成立，即a1+a2+…+ak≤（k2-2k+2）•2k，采用放缩的方法可以证出n=k+1时，a1+a2+…+ak+ak+1）≤（（k+1）2-2（k+1）+2）•2k+1也成立，因此可以得出结论对所有的正整数n，不等式都能成立．
【解析】
（1）由an+1=2（）2an得：
⇒
⇒
…
⇒
将这n-1个式子相乘，得an=2n-1n2a1=2n•n2，
（2）∵bn=（An2+Bn+C）•2n
∴bn+1=（A（n+1）2+B（n+1）+C）•2n+1
∴bn+1-bn=（A（n+1）2+B（n+1）+C）•2n+1-（An2+Bn+C）•2n
=（An2+（4A+B）n+2A+2B+C）•2n
若an=bn+1-bn成立，则2n•n2=（An2+（4A+B）n+2A+2B+C）•2n对一切正整数n都成立
∴An2+（4A+B）n+2A+2B+C=n2
∴⇒A=1，B=-4，C=6；
（3）用数学归纳法进行证明：
当n=1时，a1=2≤（12-2×1+2）•21：=2，式子成立
当n≥2时，设n=k时不等式成立，
即a1+a2+…+ak≤（k2-2k+2）•2k成立，则
a1+a2+…+ak+ak+1≤（k2-2k+2）•2k+2k+1•（k+1）2
而（k2-2k+2）•2k+2k+1•（k+1）2=2k+1[（k2-k+1）+（k2+2k+1）]
=2k+1（k2+k+2）
并且2k+1（k2+k+2）≤（（k+1）2-2（k+1）+2）•2k+1，
∴a1+a2+…+ak+ak+1）≤（（k+1）2-2（k+1）+2）•2k+1
即n=k+1时不等式成立，
综上所述，可得对任意 n∈N*，a1+a2+…+an≤（n2-2n+2）•2n 总成立