Question

如图：D、E分别是正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱AA₁、B₁C₁的中点，且棱AA₁=8，AB=4，
（1）求证：A₁E∥平面BDC₁．
（2）求二面角A₁-BC₁-B₁的大小．

Answer

（1）欲证线面平行，关键是证线线平行．在线段BC1上取中点F，连接EF、DF，可得EF∥DA1，且EF=DA1，所以四边形EFDA1是平行四边形，所以A1E∥FD，再结合线面平行的判定定理可得线面平行．
（2）先作出二面角A1-BC1-B1的平面角：A1E⊥B1C1，A1E⊥CC1，得A1E⊥平面CBB1C1，过点E作EH⊥BC1于H，连接A1H，则∠A1HE为二面角A1-BC1-B1的平面角，再分别求出EH，A1E的长，利用正切函数可求．
证明：在线段BC1上取中点F，连接EF、DF
则由题意得EF∥DA1，且EF=DA1，
∴四边形EFDA1是平行四边形
∴A1E∥FD，又A1E⊄平面BDC1，FD⊂平面BDC1
∴A1E∥平面BDC1                              …（6分）
（2）由A1E⊥B1C1，A1E⊥CC1，得A1E⊥平面CBB1C1，过点E作
EH⊥BC1于H，连接A1H，则∠A1HE为二面角A1-BC1-B1的平面角        …（8分）
在Rt△BB1C1中，由BB1=8，B1C1=4，得BC1边上的高为，∴EH=，
又A1E=2，∴tan∠A1HE=
∴二面角A1-BC1-B1为arctan…（12分）