Question

已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=-x+b与曲线C相交于A，B两点，P（1，2），设直线PA、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．

Answer

（1）由题意可得，点P到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义可得点的轨迹是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，从而可求曲线C的方程．
（II）将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k1+k2值，从而解决问题．
【解析】
（Ⅰ）由题意，M到F（1，0）距离等于它到直线x=-1的距离，由抛物线定义，知C为抛物线，F（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以C的方程为y2=4x．…（4分）
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）
联立
∴x1+x2=2b+4，x1x2=b2…（6分）

=
=
=
=
==0…（10分）
所以k1+k2为定值．…（12分）