Question

将圆x²+y²=8上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的倍，得到曲线C．设直线l与曲线C相交于A、B两点，且M，其中M是曲线C与y轴正半轴的交点．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）证明：直线l的纵截距为定值．

Answer

（I）先设曲线C上任取一个动点P的坐标（x，y），然后根据题意（x，y）在圆x2+y2=8上，整理即可解出曲线C的方程．
（II）设出直线l的方程，与C的方程联立方程组，整理为一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得直线l的纵截距为定值，从而解决问题．
【解析】
（Ⅰ）设所求曲线C上的任一点坐标为（x，y），圆x2+y2=8上的对应点的坐标为（x'，y'），由题意可得，…（3分）
∵x'2+y'2=8，x2+2y2=8，即∴曲线C的方程为．              …（5分）
（Ⅱ）∵M（0，2），显然直线l与x轴不垂直，设直线l：y=kx+m，与椭圆C：相交于A（x1，y1），B（x2，y2），
由得（2k2+1）x2+4kmx+2m2-8=0，…（7分）
∴，…（8分）
∴（x1，y1-2）•（x2，y2-2）=0，…（10分）
即：x1x2+（y1-2）（y2-2）=0⇒x1x2+y1y2-2（y1+y2）+4=0，∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）-2（kx1+m+kx2+m）+4=0，
整理得：（k2+1）x1x2+k（m-2）（x1+x2）+（m-2）2=0，…（12分）
即，
∵m≠2，2（k2+1）（m+2）-4k2m+（2k2+1）（m-2）=0，
展开得：3m+2=0，∴，∴直线l的纵截距为定值．                    …（14分）