Question

设S_n是数列{a_n}的前n项和，且a_n是S_n和2的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）当1≤i≤j≤n（i，j，n均为正整数）时，求a_i和a_j的所有可能的乘积a_ia_j之和T_n；
（3）设，求证：．

Answer

（1）由an是Sn和2的等差中项，知Sn+2=2an，由此入手能求出an．
（2）由ai和aj的所有可能乘积ai•aj=2i+j（1≤i≤j≤n）可构成下表：21+1，21+2，21+3，…，21+（n-1），21+n22+2，22+3，…，22+（n-1），22+n23+3，…，23+（n-1），23+n，…2n+n…．构造如下n行n列的数表：21+1，21+2，21+3，…，21+（n-1），21+n22+1，22+2，22+3，…，22+（n-1），22+n23+1，23+2，23+3，…，23+（n-1），23+n，…2n+1，2n+2，2n+3，…，2n+（n-1），2n+n，求ai和aj的所有可能的乘积aiaj之和Tn．
（3），，=．由此能够证明．
【解析】
（1）∵an是Sn和2的等差中项，
∴Sn+2=2an，①…（1分）
当n=1时，S1+2=2a1，解得a1=2．
当n∈N*，n≥2时，Sn-1+2=2an-1（n∈N*，n≥2）．②
①-②得  Sn-Sn-1=2an-2an-1（n∈N*，n≥2），
∴an=2an-2an-1，
∴an=2an-1，
∴（n∈N*，n≥2）．
∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an=2n（n∈N*）．…（5分）
（2）由ai和aj的所有可能乘积ai•aj=2i+j（1≤i≤j≤n）可构成下表：21+1，21+2，21+3，…，21+（n-1），21+n22+2，22+3，…，22+（n-1），22+n23+3，…，23+（n-1），23+n
…2n+n…（7分）
构造如下n行n列的数表：21+1，21+2，21+3，…，21+（n-1），21+n22+1，22+2，22+3，…，22+（n-1），22+n23+1，23+2，23+3，…，23+（n-1），23+n
…2n+1，2n+2，2n+3，…，2n+（n-1），2n+n
设上表第一行的和为T，则．
于是 2Tn=T（1+2+22+…+2n-1）+（22+24+…+22n）==．
∴．…（10分）
（3）∵，
∴，…（12分）
∴==．
∵2n+1-1≥3，
∴．
即．…（14分）