Question

如图，已知，（a＞c），且，，C为动点．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出点P的轨迹方程；
（2）若点P的轨迹上存在两个不同的点E、F，且线段EF的中垂线与AB（或AB的延长线）相交于一点Q，求出点Q的活动范围．

Answer

（1）由已知，根据向量关系，结合线段中垂线性质，研究出==2a＞2c，得知点P是以A，B为焦点，长轴长为2a的椭圆，可写出其轨迹方程．
 （2）设E（x1，y1），F（x2，y2），Q（x，0），得出 x=，再根据-a≤x1≤a，-a≤x2≤a求出|x|＜．点在与AB中点相距 的线段上活动（不包括两端点）．
【解析】
如图，以A，B所在直线为x轴，A，B的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系．由题设，2，=0，
∴|．
而==2a＞2c
∴点P是以A，B为焦点，长轴长为2a的椭圆．即=1
（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），Q（x，0）
x1≠x2，
即（x1-x）2+y12=（x2-x）2+y22 ①
又E，F在轨迹上，∴=1，=1
 将y12，y22 ，代入①式整理，得
2（x2-x1）═（x2-x1）2•       
∵x1≠x2，∴x=
-a≤x1≤a，-a≤x2≤a，
-2a＜x1+x2 ＜2a
-＜x＜．
即|x|＜．
∴点在与AB中点相距 的线段上活动（不包括两端点）．