Question

设函数f（x）=log₂（2^x+1），x∈R．
（1）求f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）解不等式2f（x）≤f^-1（x+log₂5）．

Answer

（1）利用指数是与对数式的互化关系，求出反函数的解析式，然后根据原函数的值域确定反函数的定义域即可；
（2）先根据函数的定义域求出x的范围，然后代入解析式，解对数不等式，转化成指数不等式进行求解，即可求出x的取值范围．
【解析】
（1）y=log2（2x+1），则2x=2y-1，y＞0
∴x=log2（2y-1）
∴f-1（x）=log2（2x-1），x∈（0，+∞）．
（2）由2f（x）≤f-1（x+log25），得x+log25＞0，
且2log2（2x+1），
∴（2x）2-3×22+2≤0，∴1≤2x≤2，⇒0≤x≤1
综上，得0≤x≤1．