Question

某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为2元，并且每件产品需向总公司交a元（2≤a≤6）的管理费，预计当每件产品的销售价为x元（7≤x≤9）时，一年的销售量为（12-x）万件．
（1）求该分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）当每件产品的售价为多少元时，该分公司一年的利润L最大，并求L的最大值Q（a）．

Answer

（1）根据题意先求出每件产品的利润，再乘以一年的销量，便可求出分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式；
（2）根据L与x的函数关系式先求出该函数的导数，令L′（x）=0便可求出当时，利润最大，再根据a的取值范围分类讨论当a取不同的值时，最大利润各为多少．
【解析】
（1）该分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式为：
L=（x-a-2）（12-x），x∈[7，9]．…（6分）
（2）当2≤a＜4时，此时，，
所以，当时，L的最大值，…（3分）
当4≤a≤6时，此时，，
所以，当x=9时，L的最大值Q（a）=3（7-a）．…（3分）
答：若2≤a＜4，则当每件产品售价为元时，该分公司一年的利润L最大，最大值；若4≤a≤6，则当每件产品售价为9元时，该分公司一年的利润L最大，最大值Q（a）=3（7-a）．       …（2分）