Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n-tS_n-1=n（n≥2，n∈N^*，t为常数t≠0），且a₁=1．
（1）当t=2时，求a₂和a₃；
（2）若数列{a_n+1}是等比数列，求常数t的值；
（3）求数列{a_n}的前n项和S_n关于t的表达式．

Answer

（1）将t=2代入，只需利用已知条件表达出S1，S2，S3 即可求得a2和a3；
（2）问中通过写出两个关系式，再相减易得an-tan-1=1，这个递推式明显是一个构造新数列的模型，从而利用{an+1}是等比数列，求出t的值；
（3）在（2）的基础上构造等比数列模型，再利用等比数列的求和公式，即可求得，应注意分类讨论．
【解析】
（1）因为t=2及Sn-tSn-1=n，得Sn-2Sn-1=n，所以（a1+a2）-2a1=2且a1=1
，解得a2=3
同理（a1+a2+a3）-2（a1+a2）=3，解得a3=7
（2）当n≥3时，Sn-tSn-1=n，得Sn-1-tSn-2=n-1两式相减得：an-tan-1=1（**）（6分）
即an+1=tan-1+2
当t=0时，an+1=2显然{an+1}是等比数列（7分）
当t≠0时，令bn=an+1，可得bn=tbn-1+2-t
因为{an+1}是等比数列，所以{bn}为等比数列，
当n≥2时，bn+1bn-1=bn2恒成立，（8分）
即 恒成立，
化简得（t-2）（t+1）bn-（2-t）2=0恒成立，
即 ，解得t=2
综合上述，t=0（舍）或t=2（9分）
（3）当t=1时，由（**）得an-an-1=1
数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 （10分）
当t≠1时，由（**）得an=tan-1+1
设an+k=t（an-1+k）（k为常数）
整理得an=tan-1+（t-1）k
显然 （12分）
所以
即数列 是以 为首项，t为公比的等比数列
所以 ，
即
所以
所以 （16分）