Question

已知圆C过点A（0，a）（a＞0），且在x轴上截得的弦MN的长为2a．
（1）求圆C的圆心的轨迹方程；
（2）若∠MAN=45°，求圆C的方程．

Answer

（1）设圆C的圆心为C（x，y），圆的半径 ，由圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．可得|y|2+a2=r2，整理可求
（2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圆C的圆心为（x，y），则有x2=2ay（结合可求x，r，从而可求圆C的方程
【解析】
（1）设圆C的圆心为C（x，y），
依题意圆的半径   …（2分）
∵圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．
∴|y|2+a2=r2
故  x2+（y-a）2=|y|2+a2…（4分）
∴x2=2ay
∴圆C的圆心的轨迹方程为x2=2ay…（6分）
（2）∵∠MAN=45°（3），∴∠MCN=90°（4）…（9分）
令圆C的圆心为（x，y），则有x2=2ay（y≥0），…（10分）
又∵…（11分）
∴…（12分）
∴…（13分）
∴圆C的方程为  …（14分）