Question

老师告诉学生小明说，“若O为△ABC所在平面上的任意一点，且有等式，则P点的轨迹必过△ABC的垂心”，小明进一步思考何时P点的轨迹会通过△ABC的外心，得到的条件等式应为=    ．（用O，A，B，C四个点所构成的向量和角A，B，C的三角函数以及λ表示）

Answer

由题意可得：•（ +）=0，即 与λ（ +）垂直，设D为BC的中点，则 =，可得λ（ +）=，即可得到，进而得到点P在BC的垂直平分线上，即可得到答案．
【解析】
由题意可得：•（ +）=-||+||=0
∴与λ（ +）垂直
设D为BC的中点，则 =，
所以，即，
所以λ（ +）=，
因为与λ（ +）垂直
所以，
又∵点D为BC的中点，
∴点P在BC的垂直平分线上，即P的轨迹会通过△ABC的外心．
故答案为：．