Question

在长32cm，宽20cm的矩形薄铁板的四角分别剪去一个相等的正方形，做成一个无盖的盒子．问剪去的正方形边长为多少时，盒子的容积最大，并求出最大容积．

Answer

首先设出未知数：小正方形的边长为x，可得盒子的容积为：V（x）=x（32-2x）（20-2x），然后利用导数工具研究它的单调性，得出当x∈（0，4）时函数为增函数，当x∈（4，10）函数为减函数．因此可得，当x=4时盒子的容积最大，最大容积为1152cm2．
【解析】
设截去四个相相同的小正方形的边长为x，则盒子的容积
为：V（x）=x（32-2x）（20-2x）=4x（16-x）（10-x）
V（x）=4（x3-26x2+160x）
∴V′（x）=4（3x2-52x+160）
令V′（x）=0即：3x2-52x+160=0
解得x=4或x=
∵0＜x＜10
∴x=舍去，
当x∈（0，4）时函数为增函数，当x∈（4，10）函数为减函数
∴当x=4时盒子的容积最大，最大容积为1152cm2．