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在长32cm,宽20cm的矩形薄铁板的四角分别剪去一个相等的正方形,做成一个无盖...

在长32cm,宽20cm的矩形薄铁板的四角分别剪去一个相等的正方形,做成一个无盖的盒子.问剪去的正方形边长为多少时,盒子的容积最大,并求出最大容积.
首先设出未知数:小正方形的边长为x,可得盒子的容积为:V(x)=x(32-2x)(20-2x),然后利用导数工具研究它的单调性,得出当x∈(0,4)时函数为增函数,当x∈(4,10)函数为减函数.因此可得,当x=4时盒子的容积最大,最大容积为1152cm2. 【解析】 设截去四个相相同的小正方形的边长为x,则盒子的容积 为:V(x)=x(32-2x)(20-2x)=4x(16-x)(10-x) V(x)=4(x3-26x2+160x) ∴V′(x)=4(3x2-52x+160) 令V′(x)=0即:3x2-52x+160=0 解得x=4或x= ∵0<x<10 ∴x=舍去, 当x∈(0,4)时函数为增函数,当x∈(4,10)函数为减函数 ∴当x=4时盒子的容积最大,最大容积为1152cm2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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