Question

若给定椭圆C：ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b）和点N（x，y），则称直线l：axx+byy=1为椭圆C的“伴随直线”．
（1）若N（x，y）在椭圆C上，判断椭圆C与它的“伴随直线”的位置关系（当直线与椭圆的交点个数为0个、1个、2个时，分别称直线与椭圆相离、相切、相交），并说明理由；
（2）命题：“若点N（x，y）在椭圆C的外部，则直线l与椭圆C必相交．”写出这个命题的逆命题，判断此逆命题的真假，说明理由；
（3）若N（x，y）在椭圆C的内部，过N点任意作一条直线，交椭圆C于A、B，交l于M点（异于A、B），设，，问λ₁+λ₂是否为定值？说明理由．

Answer

（1），由根的差别式能得到l与椭圆C相切．
（2）逆命题：若直线l：axx+byy=1与椭圆C相交，则点N（x，y）在椭圆C的外部．是真命题．联立方程得（aby2+a2x2）x2-2axx+1-by2=0．由△=4a2x2-4a（by2+ax2）（1-by2）＞0，能求出N（x，y）在椭圆C的外部．
（3）此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，得（ax2+by2-1）λ12+ax12+by12-1=0．由此能求出λ1+λ2=0．
【解析】
（1）
即ax2-2axx+ax2=0
∴△=4a2x2-4a2x2=0
∴l与椭圆C相切．
（2）逆命题：若直线l：axx+byy=1与椭圆C相交，则点N（x，y）在椭圆C的外部．
是真命题．联立方程得（aby2+a2x2）x2-2axx+1-by2=0
则△=4a2x2-4a（by2+ax2）（1-by2）＞0
∴ax2-by2+b2y4-ax2+abx2y2＞0
∴by2+ax2＞1
∴N（x，y）在椭圆C的外部．
（3）同理可得此时l与椭圆相离，设M（x1，y1），A（x，y）
则代入椭圆C：ax2+by2=1，利用M在l上，
即axx1+byy1=1，整理得（ax2+by2-1）λ12+ax12+by12-1=0
同理得关于λ2的方程，类似．
即λ1、λ2是（ax2+by2-1）λ2+ax12+by12-1=0的两根
∴λ1+λ2=0．