Question

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+y-=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足•=0，求|MN|的最小值．

Answer

（1）依题意，设直线l：x+y=与椭圆Γ：+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），由∠AOB=，知x1x2+y1y2=0，而x1=（1-y1），x2=（1-y2），代入上式得到：4y1y2-3（y1+y2）+3=0．由此可求出椭圆Γ的方程．
（2）由题意知M、N是椭圆+y2=1上的两点，且OM⊥ON，故设M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），由题设条件能够推出|MN|的最小值为．
【解析】
（1）依题意，设直线l：x+y=与椭圆Γ：+=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），
由∠AOB=，知x1x2+y1y2=0，而x1=（1-y1），x2=（1-y2），代入上式得到：4y1y2-3（y1+y2）+3=0①
由|AB|=2知：|y1-y2|=2，即|y1-y2|=1，
不妨设y1＞y2，则y2=y1+1，②
将②式代入①式求得：或，
∴A（，），B（-，）或A（，0），B（0，1），
又A（，），B（-，）不合题意，舍去．
∴A（，0），B（0，1），
故所求椭圆Γ的方程为+y2=1．
（2）由题意知M、N是椭圆+y2=1上的两点，且OM⊥ON，
故设M（r1cosθ，r1sinθ），N（-r2sinθ，r2cosθ），
于是r12（+sin2θ）=1，r22（+cos2θ）=1，
又（r12+r22）（+）=2++≥4，
从而|MN|2•≥4，即|MN|≥，
故所求|MN|的最小值为．