(1)利用求导公式和导数的运算法则求解该函数的导函数,注意复合函数导数法则的运用;
(2)通过构造函数,研究构造的函数的导函数完成该不等式的证明问题,注意发挥导数的工具作用;
(3)利用(2)的结论完成该函数最值的求解,注意发挥函数单调性与最值的联系作用.
【解析】
(1)根据求导的运算法则得出f′(x)=x+sin2xx-1;
(2)由(1)知f′(x)=x+sin2xx-1,其中f(0)=0
令f′(x)=G(x),对G(x)求导数得G′(x)
G′(x)=x(-sinx)+[2sinxcosxx+sin2x(-)x(-sinx)]
=sin3xx>0在x∈(0,)上恒成立.
故G(x)即f(x)的导函数在(0,)上为增函数,故f′(x)>f′(0)=0
进而知f(x)在(0,)上为增函数,故f(x)>f(0)=0,当x=时,sin3x>x3cosx显然成立.
于是有sin3x-x3cosx>0在(0,]上恒成立.
(3)∵由(2)可知sin3x-x3cosx>0在(0,]上恒成立.
则g′(x)=在(0,]上恒成立.即g(x)在(0,]单增
于是g(x)≤g()=.故g(x)=-(0<x≤)的最大值为.