(1)根据所给的函数的解析式,把函数代入f(x)+f(x+2)=f(x+1)进行验证,得到三角函数符合集合的元素具有的条件,得到g(x)∈M.
(2)根据g(x)是周期为6的周期函数,猜测f(x)也是周期为6的周期函数,由f(x)+f(x+2)=f(x+1),得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),得到f(x+3)=-f(x),得证f(x)是周期为6的周期函数.
(3)令,可证得h(x)+h(x+2)=h(x+1),h(x)∈M,但h(x)是偶函数,不是奇函数,得到结论.
【解析】
(1)∵
=∴g(x)∈M…(6分)
(2)因g(x)是周期为6的周期函数,猜测f(x)也是周期为6的周期函数
由f(x)+f(x+2)=f(x+1),得f(x+1)+f(x+3)=f(x+2),
∴f(x)+f(x+2)+f(x+1)+f(x+3)=f(x+1)+f(x+2)
∴f(x)+f(x+3)=0,∴f(x+3)=-f(x),
∴f(x+6)=-f(x+3)=f(x),得证f(x)是周期为6的周期函数,
故M中的元素都是周期为6的周期函数.…(12分)
(3)令,可证得h(x)+h(x+2)=h(x+1)…(16分)
∴h(x)∈M,但h(x)是偶函数,不是奇函数,
∴M中的元素不都是奇函数.…(18分)