Question

从原点出发的某质点M，按向量=（0，1）移动的概率为，按向量=（0，2）移动的概率为，设可达到点（0，n）的概率为P_n，求：
（1）求P₁和P₂的值．
（2）求证：P_n+2=P_n+P_n+1．
（3）求P_n的表达式．

Answer

（1）P1为到达点（0，1）的概率，要到达（0，1）只有按向量 移动才可能，故P1=，P2为到达点（0，2）的概率，要到达（0，2）有两种方法，第一种直接按向量 可到达；第二种两次都按向量 走．故 ．
（2）找出Pn+2、Pn+1、Pn的关系即 ，即可得到答案．
（3）构造新数列{Pn+1-Pn}是以P2-P1为首项，-为公比的等比数列，由等比数列求和可得答案．
【解析】
（1）．P1=．
（2）．证明：到达点（0，n+2）有两种情况：从点（0，n）按向量移动；
从点（0，n+1）按向量=（0，1）移动，概率分别为Pn×与，所以．
（3）．由（2）得Pn+2-Pn+1=，故数列{Pn+1-Pn}是以P2-P1=为首项，为公比的等比数列，
故Pn+1-Pn=，
于是Pn-P1=（∴．