Question

已知数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项的和．对于任意的n∈N^*，都有4S_n=（a_n+1）²．
（1）求数列{a_n} 的通项公式．
（2）若2ⁿ≥tS_n 对于任意的n∈N^* 恒成立，求实数t 的最大值．

Answer

（1）令n=1求出首项，然后根据4an=4Sn-4Sn-1进行化简得an-an-1=2，从而得到数列{an}是等差数列，直接求出通项公式即可；
（2）若2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，则，然后研究数列的单调性，可求出t的范围，从而求出所求．
【解析】
（1）∵4S1=4a1=（a1+1）2，
∴a1=1．当n≥2时，4an=4Sn-4Sn-1=（an+1）2-（an-1+1）2，
∴2（an+an-1）=an2-an-12，又{an}各项均为正数，
∴an-an-1=2．数列{an}是等差数列，
∴an=2n-1．
（ 2）Sn=n2，若2n≥tSn对于任意的n∈N*恒成立，则．令，．
当n≥3时，．
又，
∴．
∴t的最大值是．