Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意的正整数n，都有a_n=5S_n+1成立，记（n∈N*），
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）记C_n=b_2n-b_2n-1（n∈N*），设数列{C_n}的前n和为T_n，求证：对任意正整数n，都有．

Answer

（1）令n等于1代入an=5Sn+1中，即可求出首项a1，然后把n换为n+1，利用an=5Sn+1表示出，它的值即为公比，得到此数列为等比数列，然后根据首项和公比写出数列的通项公式即可，因而可得出bn的通项公式；
（2）根据bn的通项公式，计算出cn的通项公式，再比较Tn与 的大小；
【解析】
（1）∵5Sn=an-1
当n=1时，a1=5a1+1∴
当n≥2时，5an=5Sn-5Sn-1=an-1-（an-1-1）=an-an-1，
∴数列{an}成等比数列，其首项，公比
∴∴（n∈N*） （5分）
（2）由（1）知
∴=
又 b1=3，∴
当n=1时，
当n≥2时，
（12分）