Question

已知O是锐角三角形ABC的外心，△BOC，△COA，△AOB的面积数依次成等差数列．
（1）推算tanAtanC是否为定值？说明理由；
（2）求证：tanA，tanB，tanC也成等差数列．

Answer

如图所示，设△ABC的外接圆半径为R，则，，由题意可得2S△COA=S△BOC+S△AOB，整理可得2sin2B=sin2A+sin2C，结合三角形的内角和公式及和差角公式整理得 sinA•sinC=3cosA•cosC．
（1）因△ABC是锐角三角形，，可知cosA≠0，cosC≠0，可求tanAtanC．
（2）要证tanA，tanB，tanC成等差数列．只要证明2tanB=tanA+tanC即可
【解析】
如图所示，设△ABC的外接圆半径为R，
则，
同理：．
∵S△BOC，S△COA，S△AOB成等差数列，
∴2S△COA=S△BOC+S△AOB，
即．
∴2sin2B=sin2A+sin2C，∴2sin2B=sin[（A+C）+（A-C）]+sin[（A+C）-（A-C）]，
∴4sinBcosB=2sin（A+C）cos（A-C）．
又A+B+C=π，故sinB=sin（A+C）≠0．
∴2cosB=cos（A-C）．
又A+B+C=π，∴-2cos（A+C）=cos（A-C）．
整理得 sinA•sinC=3cosA•cosC．
（1）因△ABC是锐角三角形，，可知cosA≠0，cosC≠0，∴tanAtanC=3，
故tanAtanC为定值．
（2）∵=．∴2tanB=tanA+tanC，
即tanA，tanB，tanC成等差数列．