Question

设，函数（其中m为实常数）．
（1）如果函数f（x）为偶函数，试确定函数解析式；
（2）试写出一个m的值，使函数f（x）在x∈[-2，+∞）上存在反函数，并说明理由．

Answer

由题意，先由，函数，得出函数的解析式
（1）由函数是偶函数可得f（-x）=f（x）（或对称轴），解出m的值；
（2）函数有反函数，说明函数在x∈[-2，+∞）上是单调函数，故找出可使函数是单调函数的m的取值范围，写出一个即可
【解析】
由条件得f（x）=-x2+（x+1）（m-2）=-x2+（m-2）x+m-2．
（1）因为f（x）为偶函数，所以f（-x）=f（x）（或对称轴），
解得m=2，
因此函数解析式为f（x）=-x2．
（2）（说明：由得m≤-2，学生只要在m≤-2内取值，能说明此时x与y一一对应或者为单调函数，都得满分）如：
取m=-3，
则f（x）=-x2-5x-5在x∈[-2，+∞）上单调，因此存在反函数．