Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BC，CD的中点，
求：（1）直线A₁D与平面EFD₁B₁所成角的大小；（2）二面角B-B₁E-F的大小．

Answer

（1）设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，建立空间直角坐标系，求出平面EFD1B1  的一个法向量，再求线A1D 的一个方向向量，进而利用夹角公式求解；
（2）因为平面BB1E 垂直于y 轴，所以可求平面BB1E 的一个法向量，进而利用夹角公式求解，需主要判断夹角是钝角还是锐角；
【解析】
设正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为2，建立空间直角坐标系，A1（2，0，0），D（0，0，2），D1（0，0，0），B1（2，2，0），F（0，1，2），于是．
（1）设是平面EFD1B1  的一个法向量，
∵，
∴，
解得．取v=-2，
∴．
由 知直线A1D 的一个方向向量为 ．
设直线A1D 与平面EFD1B1 所成角为θ， 与 所成角为ϕ，则，
因，即直线A1D 与平面EFD1B1 所成角为．
（2）因为平面BB1E 垂直于y 轴，所以平面BB1E 的一个法向量为，
设 与 的夹角为ϕ，则，
结合图可判断所求二面角B-B1E-F 是钝角，大小为．