Question

设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是、，坐标平面上点列A_n、B_n（n∈N^*）分别满足下列两个条件：①且；②且．
（1）求及的坐标，并证明点A_n在直线y=x+1上；
（2）若四边形A_nB_nB_n+1A_n+1的面积是a_n，求a_n（n∈N^*）的表达式；
（3）对于（2）中的a_n，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N^*都有a_n＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

Answer

（1）根据向量的加法的几何意义，再结合坐标运算的法则，可得及的坐标，因而再结合已知条件，可得，代入坐标可得An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1；
（2）用类似于（1）的方法，结合已知条件用等比数列求和公式，得：，代入四边形
AnBnBn+1An+1的面积，进而得到an的通项公式为an=5+（n-2）×；
（3）通过作差，得，再通过讨论得到这个差在n=4时为0，而n＜4时为正，n＞4时为负，从而得到a4=a5为的最大项，因此不难求出存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*都有an＜M成立．
【解析】
（1），

==（n-1，n）
所以An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点An在直线y=x+1上．
（2）
=
=．
设直线y=x+1交x轴于P（-1，0），
则
=[10-9×]×（n+1）-[10-9×]×n
=5+（n-2）×
（3）=
所以a1-a2＜0，a2-a3＜0，a3-a4＜0，a4-a5=0，a5-a6＞0，a6-a7＞0，…等
即在数列{an}中，是数列的最大项，
所以存在最小的自然数M=6，对一切n∈N*都有an＜M成立．