Question

已知F₁（-2，0），F₂（2，0），点P满足|PF₁|-|PF₂|=2，记点P的轨迹为E，．
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F₂且法向量为，直线与轨迹E交于P、Q两点．
①过P、Q作y轴的垂线PA、QB，垂足分别为A、B，记|PQ|=λ|AB|，试确定λ的取值范围；
②在x轴上是否存在定点M，无论直线l绕点F₂怎样转动，使恒成立？如果存在，求出定点M；如果不存在，请说明理由．

Answer

（1）由条件知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，从而写出轨迹E的方程即可．
（2）①当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用距离公式分别表示PQ|、|AB|，从而可求λ的取值范围；
②当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k（x-2），P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量垂直关系即可求得m值，从而解决问题．
【解析】
（1）由|PF1|-|PF2|=2＜|F1F2|知，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支．
轨迹方程为．
（2）直线l的方程为a（x-2）+y=0，
由得（a2-3）x2-4a2x+4a2+3=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），
由条件得
解得a2＞3即．

①，|AB|=|y1-y2|=|a||x1-x2|
由条件，故x1≠x2，∴，
因为a2＞3，因此．
②设存在点M（m，0）满足条件，由
=，
得3（1-m2）+a2（m2-4m-5）=0对任意a2＞3恒成立，
所以，解得m=-1，
因此存在定点M（-1，0）满足条件．