Question

如图，在△ABC中，∠C=90°，sinB=，F是AB上一点，过点F作DF⊥AB于F，交BC城E，交AC延长线于D，连CF，若S_△BEF=4S_△CDE，CE=5，
（1）求AC的长  （2）求S_△CEF．

Answer

（1）易得△BFE∽△DCE，根据面积之间的关系式可得到相应的相似比，利用CE长，那么可求得BE长，进而求得BC，利用sinB的值和勾股定理即可求得AC长；
（2）利用sinB可求得BF、FE，由于△CEF和△BEF同高，那么面积的比就等于底边的比．按此计算即可．
【解析】
（1）∵∠BFE=∠BCD=90°，∠FEB=∠DEC
∴△BFE∽△DCF
∵S△BEF=4S△CDE，
∴S△BEF：S△DEC=4：1
∴EF：EC=2：1
∵CE=5，∴EF=10，
∵sinB=，∴BE=，∴BC=
设AC=5k，则AB=7k
∵AB2-AC2=BC2，
∴49k2-25k2=（ ）2
解得k=（负值舍去）
∴AC=5×=；
（2）∵sinB=，BE=，EF=10；
∴BF=4
S△BFE=BF×EF÷2=20
∵BE：EC=：5
∴S△CEF=．