Question

如图，⊙O半径为2，直径CD以O为中心，在⊙O所在平面内转动，当CD 转动时，OA固定不动，0°≤∠DOA≤90°，且总有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC与⊙O交于E，连AD，设CE为x，四边形ABCD的面积为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（2）当x=2（3）时，求四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比；
（4）当x取何值时，四边形ABCD为直角梯形？连EF，此时OCEF变成什么图形？（只需说明结论，不必证明）．

Answer

（1）由于四边形ABCD不是规则的四边形，可将其分成平行四边形ABCO和△AOD两部分来求解，连接DE，过O作OH⊥BC于H，那么不难得出OH是△CDE的中位线，在直角三角形CDE中，可用直径和CE的长求出DE的值，然后即可得出OH的长，进而可根据四边形ABCD的面积计算方法求出y，x的函数关系式．下面说x的取值范围，0°≤∠DOA≤90°；因此0≤cos∠DOA≤1，而cos∠DOA==；因0≤≤1，即0≤x≤4；
（2）连接OE，那么四边形的圆内部分可分为扇形ODE和△OCE两部分，△OCE的面积容易求得；重点说明扇形ODE的面积计算方法，关键是求出圆心角∠DOE的度数；在直角三角形CDE中，CD=4，CE=2 ，因此∠DCE=30°；根据圆周角定理，∠DOE=2∠DCE=60°；根据扇形的面积公式即可求出扇形ODE的面积；然后再分别计算出△OCE的面积和四边形ABCD的面积，进行比较即可．
（3）当四边形ABCD是直角梯形时，CD∥AB，CD和AB都与BC垂直，此时C、E重合，CE=x=0；因此OCEF变成了等腰直角三角形．
【解析】
（1）连接DE，过O作OH⊥BC于H，则DE⊥BC，OH∥DE
∵CD=4，CE=x
∴DE===
∴OH=DE=
∴y=S▱ABCO+S△OAD=4×+×4×
=3 （0≤x≤4）
∴x的取值范围为0≤x≤4；
（2）当x=2 时
∵CE=2 ，CD=4
∴DE=2，∠C=30°
∴∠DOE=60°，OH=1
∵S圆内部分=+×2 ×1=+
∵S四边形ABCD=3 =3 =6
∴S圆内部分：S四边形ABCD=
∴四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比为（2π+3 ）：18；
（3）x=0时，E与C重合，四边形ABCD为直角梯形，OCEF即三角形OCF的形状是等腰直角三角形；
当x=2时，CD、AB都与AD垂直．