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在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,...

在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,PA=2AB=2.
(1)求四棱锥P-ABCD的体积V;
(2)若F为PC的中点,求证PC⊥平面AEF;
(3)求证CE∥平面PAB.

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(1)利用直角三角形中的边角关系求出BC、AC、CD,由  求得底面的面积, 代入体积公式进行运算. (2)证明AF⊥PC,再由CD⊥平面PAC 证明CD⊥PC,由EF∥CD,可得PC⊥EF,从而得到PC⊥平面AEF. (3)延长DC,AB,设它们交于点N,证明EC是三角形DPN的中位线,可得EC∥PN,从而证明EC∥平面PAB. 【解析】 (1)在Rt△ABC中,AB=1,∠BAC=60°,∴,AC=2. 在Rt△ACD中,AC=2,∠ACD=60°,∴. ∴=. 则. (2)证明:∵PA=CA,F为PC的中点,∴AF⊥PC. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,∴CD⊥PC. ∵E为PD中点,F为PC中点,∴EF∥CD,则EF⊥PC,∵AF∩EF=F,∴PC⊥平面AEF. (3)证明:延长DC,AB,设它们交于点N,连PN.∵∠NAC=∠DAC=60°,AC⊥CD, ∴C为ND的中点.∵E为PD中点,∴EC∥PN.∵EC⊄平面PAB,PN⊂平面PAB, ∴EC∥平面PAB.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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