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某公司生产某种消防安全产品,年产量x台(0≤x≤100,x∈N)时,销售收入函数...

某公司生产某种消防安全产品,年产量x台(0≤x≤100,x∈N)时,销售收入函数R(x)=3000x-20x2(单位:百元),其成本函数满足C(x)=500x+b(单位:百元).已知该公司不生产任何产品时,其成本为4000(百元).
(1)求利润函数P(x);
(2)问该公司生产多少台产品时,利润最大,最大利润是多少?
(3)在经济学中,对于函数f(x),我们把函数f(x+1)-f(x)称为函数f(x)的边际函数,记作Mf(x).对于(1)求得的利润函数P(x),求边际函数MP(x);并利用边际函数MP(x)的性质解释公司生产利润情况.(本题所指的函数性质主要包括:函数的单调性、最值、零点等)
(1)由题意,x=0,b=4000,所以C(x)=500x+4000,P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-500x-4000=-20x2+2500x-4000,0≤x≤100. (2)P(x)=,(0≤x≤100,x∈N),由此能求出最大利润和取得最大利润时的产量. (3)MP(x)=P(x+1)-P(x)=-40x+2480(0≤x≤99,x∈N).边际函数为减函数,说明随着产量的增加,每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少;说明生产第一台的利润差最大;生产62台时,利润达到最大. 【解析】 (1)由题意,x=0,b=4000, 所以C(x)=500x+4000, P(x)=R(x)-C(x)=3000x-20x2-500x-4000 =-20x2+2500x-4000,0≤x≤100. (2)P(x)=,(0≤x≤100,x∈N) 所以x=62或x=63. P(x)max=P(62)=P(63)=74120(百元). (3)MP(x)=P(x+1)-P(x)=-40x+2480(0≤x≤99,x∈N) 边际函数为减函数,说明随着产量的增加,每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少; 当x=0时,边际函数取得最大值为2480,说明生产第一台的利润差最大; 当x=62时,边际函数为零,说明生产62台时,利润达到最大.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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