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如图,已知椭圆manfen5.com 满分网(a>b>0),M为椭圆上的一个动点,F1、F2分别为椭圆的左、右焦点,A、B分别为椭圆的一个长轴端点与短轴的端点.当MF2⊥F1F2时,原点O到直线MF1的距离为manfen5.com 满分网|OF1|.
(1)求a,b满足的关系式;
(2)过F2作与直线AB垂直的直线,交椭圆于P、Q两点,当三角形PQF1面积为20manfen5.com 满分网时,求此时椭圆的方程;
(3)当点M在椭圆上变化时,求证:∠F1MF2的最大值为manfen5.com 满分网

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(1)利用MF2⊥F1F2,可求点M坐标,利用原点O到直线MF1的距离为|OF1|,可得几何量之间的关系,从而可求a,b满足的关系式; (2)假设直线l方程与椭圆方程联立,进而可表示出三角形PQF1面积,利用条件可求; (3)在△F1MF2中,利用余弦定理表示出∠F1MF2,利用基本不等式即可求解. 【解析】 (1)设F1(-c,0),F2(c,0),A(a,0),B(0,b) 因为MF2⊥F1F2,所以点M坐标为 所以MF1方程b2x-2acy+b2c=0 O到MF1距离,整理得2b4=a2c2 所以,解得 (2)设直线l方程为,直线与椭圆交于P(x1,y1),Q(x2,y2),F1到直线PQ的距离为h 解联立方程得5x2-8bx+2b2=0,, 所以 所以b2=25,a2=50 ∴椭圆方程为 (3)设MF1=m,MF2=n,m+n=2a 由余弦定理得 因为, 所以cos∠F1MF2≥0 当且仅当 由三角形内角及余弦单调性知有最大值
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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