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已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2+2Sn=3an(n∈N*).数列bn=...

已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2+2Sn=3an(n∈N*).数列bn=manfen5.com 满分网
(1)求证:数列{an}为等比数列;
(2)若对于任意n∈N*,不等式bn≥(n+1)λ恒成立,求实数λ的最大值;
(3)对于数列{bn}中值为整数的项,按照原数列中前后顺序排列得到新的数列{cn},求数列{cn}的通项公式.
(1)由已知中2+2Sn=3an,n∈N*,我们可以得到 ,根据等比数列的定义,即可得到数列{an}为等比数列; (2)由(1)中结论,我们易求出数列{bn}的通项公式,下面分类讨论:①当n=1时,b1≥2λ,②n≥2时,令f(n)=,利用f(n)=,(n≥2)为递增数列.f(n)min=,从而λ的最大值. (3)根据当n=2k-1(k≥2)时,及当n=2k(k≥1)时,求出cn的解析式, 【解析】 (1)a1=2,2+2Sn=3an,2+2Sn+1=3an+1, 所以2an+1=3an+1-3an, 即:恒成立. 所以,{an}为以2为首项,公比为3的等比数列. (2)bn=. ①n=1时,b1≥2λ, ②n≥2时,≥(1+n)λ,λ≤ 令f(n)=,f(n+1)-f(n)=≥0(n≥2) 所以,f(n)=,(n≥2)为递增数列.f(n)min=, 从而 由①,②知 ,所以λ的最大值等于 . (3)c1=1 当n=2k-1(k≥2)时,cn=2× 当n=2k(k≥1)时,cn=
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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