Question

设P为双曲线C：的渐近线在第一象限内的部分上一动点，F为双曲线C的右焦点，A为双曲线C的右准线与x轴的焦点，若∠APF的最大值为，则双曲线的离心率为    ．

Answer

根据题意得A（ ，0），F（c，0），P（at，bt） 由直线的斜率公式，得KPF=，KPA=，再利用根据到角公式，得tan∠APF的表达式，最后利用基本不等式求得tan∠APF的最大值，以及取得取大值时有：=，结合∠APF的最大值为，即可求得双曲线的离心率．
【解析】
由题意得：A（ ，0），F（c，0），P（at，bt）
由直线的斜率公式，得
KPF=，KPA=
根据到角公式，得
tan∠APF=
化简，得tan∠APF===
此时 =

则∠APF的最大值为 ，
若∠APF的最大值为，
则=⇒e=2
双曲线的离心率为2
故答案为：2．