Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，为侧棱CC₁上一点，AM⊥BA₁
（1）求二面角B-AM-C；
（2）求点C到平面ABM的距离．

Answer

（1）设AM与A1C交于H，证出AM⊥面BCA1，得出∠BHC为二面角B-AM-C的平面角，得出△BCH为等腰直角三角形，∠BHC=45°
（2）在ABC 中，作CD⊥AB于D，连接 DM，在△MCD中，作 CO⊥MD，则CO⊥面 MAB，CO为点C到平面ABM的距离，在△MDC中求CO即可．
【解析】
（1）由直三棱柱得性质，侧面A1C⊥底面ABC，BC⊥AC，BC⊥面A1C，∴BC⊥AM，又AM⊥BA1
∴AM⊥面BCA1，垂足为H，AH⊥CH．连接BH，BH⊂面BCA1，∴AM⊥BH，∠BHC为二面角B-AM-C的平面角．在直角三角形A1AC中，A1C=3，由直角三角形射影定理，得出CH=1，又CB=1，∴△BCH为等腰直角三角形，∠BHC=45°，二面角B-AM-C大小为45°．
（2）在ABC 中，作CD⊥AB于D，连接 DM，则 AB⊥面MCD，AB⊂面 MAB，∴面 MAB面⊥面 MCD   且交线为 MD，在△MCD中，作 CO⊥MD，则CO⊥面 MAB，CO为点C到平面ABM的距离．
由△CMO∽△A1AO，得出MC=，又CD=，由勾股定理得MD=，利用等面积法：MD×CO=MC×CD，∴CO=，即点C到平面ABM的距离是．