Question

已知数列{x_n}，{y_n}满足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明；当λ＞1时，证明．

Answer

（1）根据把x1=x2=1代入求得x3，同理可求得x4=λ3，x5=λ6，进而根据等比中项的性质求得λ．
（2）根据根据不等式性质可知有≥…≥=λn-1；=…=λn-1
进而可得出，再看当λ＞1时得出≥，即≥，代入，原式得证．
（1）【解析】
由已知x1=x2=1，且
∴x3=λ，同理可知x4=λ3，x5=λ6，若x1、x3、x5成等比数列，则x32=x1x5，即λ2=λ6．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）证明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x1=x2=1及y1=y2=2，可得xn＞0，yn＞0．由不等式的性质，有≥…≥
=λn-1；
另一方面，=…=λn-1．
因此，=（n∈N*）．故（n∈N*）．
（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知，yn＞xn≥1（n∈N*）．
又由（Ⅰ）（n∈N*），则≥，
从而≥（n∈N*）．
∴