Question

如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC的边长为2a，侧棱AA₁=2a，M、N分别为AA₁、BC中点
（1）求四面体C₁-MNB₁体积；
（2）求直线MC₁与平面MNB₁所成角正弦值．

Answer

（1）对于四面体求体积，可以也即三棱锥求体积，可把其中一个面作为底面，与底面相对的顶点作为三棱锥的顶点，用的底面积乘高即可．在本题中，因为三角形B1C1N的面积比较好求，且M点到平面B1C1N的距离为2a，所以把M点作为三棱锥的顶点来求体积．
（2）欲求直线MC1与平面MNB1所成角正弦值，先找到该角，直线与平面所成角，即直线与它在平面上的射影所成角，过直线MC1上点M作平面MNB1的垂线，则垂线段即为M到平面的距离，直线MC1与平面MNB1所成角正弦值为垂线段与线段MC1的比．
【解析】
（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BC1
从而可得=．
（2）对于△MNB1，B1N=B1M=a，MN=2a
则△MNB1面积S=•2a•2a=2a2
 设C1到平面MNB1之距为d，则由知：
a，∴a，
设MC1与平面MNB1所成角为θ，
则sinθ=．