Question

已知函数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）是否存在正常数恒成立？如果存在，求出最小正数α，否则请说明理由．

Answer

（1）利用函数单调性与导数关系，对f（x）求导后，再求解即可．
（2）令，又0≤x≤1，则≤t≤2，因此要使恒成立．
只需1-≤t≤2恒成立①．
法1：构造函数g（t）=（t2-2）2-4α（t-2）-4≥0，在≤t≤2上恒成立，利用单调性求出g（t）的最小值，令其大于等于0．
法2：对①式中的α进行参数分离，当t=2时，显然成立当（t+2）恒成立，再求出相应函数的最小值作比较．
【解析】
（1）由f（x）=知其定义域为：-1≤x≤1
求导数得到f'（x）=（-）
 令f'（x）=0得到：x=0
在0≤x＜1时，f'（x）≤0
在-1＜x≤1时，f'（x）≥0
因此f（x）在[0，1]上为减函数，在[-1，0]上为增函数  …（6分）
（2）方法一：令，又0≤x≤1，则≤t≤2
因此要使恒成立．
只需1-≤t≤2恒成立．
即需g（t）=（t2-2）2-4α（t-2）-4≥0在t∈[，2]上恒成立．只需g（t）的最小值大于等于0
而g'（t）=4[t（t2-2）-α]在≤t≤2上单调递增．
于是：g'（）≤g'（t）≤g'（2）
g'（）=-4α＜0．g'（2）=16-α
若g'（2）=16-α≤0，α≥4，则g（t）在t∈[，2]上为减函数．g（t）的最小值 g（2）=0，符合要求．
若g'（2）=16-α＞0，g（t）=（t2-2）2-4α（t-2）-4在t∈[，2]上先减后增． 
 又∵g（2）=0，存在t，g（t）＜0，不合题意．
因此存在这样的正常数α，且求得α的最小值为4．  …（13分）
方法二：由解法1知只需1-≤t≤2上恒成立
当t=2时，显然成立当（t+2）恒成立，
又（2+2）=4∴α≥4
即α最小值为4．   …（13分）