Question

已知正三角形ABC边长为a，用这个三角形的高为边，作一个新的正三角形，再用这第二个正三角形的高为边作正三角形，…，这样无限继续下去，则所有正三角形的面积之和为    ．

Answer

先设第n个三角形的面积为an，根据三角形面积公式得出a1，a2，a3，发现数列{an}为等比数列，进而求出前n项和的极限，即可得到答案．
【解析】
设第n个三角形的面积为an，则a1=×a×a×sin60°=a2，
a2=×a×a×sin60°=a2=×a2，
a3=×a×a×sin60°=×a2；
…
∴数列{an}为首项为 a2，公比为 的等比数列．
所有这些三角形的面积的和为 （a1+a2+…+an）==a2．
故答案为：a2．