Question

定义：项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列”．
（1）若项数为20项的“对偶数列”{a_n}，前4项为1，1，3，，求该数列的通项公式及20项的和；
（2）设项数为2m（m∈N^*）的“对偶数列”{a_n}前4项为1，1，3，，试求该数列前n（1≤n≤2m，n∈N^*）项的和S_n；
（3）求证：等差数列{a_n}（a_n≠0）为“对偶数列”当且仅当数列{a_n}为非零常数数列．

Answer

（1）由条件得，a1，a3，…，a19成等差数列，公差为2，a1=1；a2，a4，…，a20成等比数列，公比为，a2=1，由此能求出该数列的通项公式及20项的和；
（2）1≤n≤2m，n∈N*，当n为偶数时，．当n为奇数时，．
（3）设{an}为等差数列，公差为d．若{an}为“对偶数列”，则a2，a4，a6，…成等比数列，由此{an}为非零常数列．若{an}为非零常数列，则a1=a2=a3=a4=…，满足“对偶数列”的条件，因此{an}为“对偶数列”．
【解析】
（1）由条件得，a1，a3，…，a19成等差数列，公差为2，a1=1；a2，a4，…，a20成等比数列，公比为，a2=1．∴
即

（2）1≤n≤2m，n∈N*，
当n为偶数时，．
当n为奇数时，．
（3）设{an}为等差数列，公差为d．
若{an}为“对偶数列”，则a2，a4，a6，…成等比数列，∴a42=a2a6，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+5d），得出d=0，
所以{an}为非零常数列．
若{an}为非零常数列，则a1=a2=a3=a4=…，满足“对偶数列”的条件，因此{an}为“对偶数列”．