Question

如图抛物线x²=2py的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P（不过原点），做抛物线的切线分别交x轴、y轴于A、B两点．
（Ⅰ）求证：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若过F、A的直线交准线l于C，证明：四边形PFBC为菱形．

Answer

（Ⅰ）由题意求出F的坐标，设出p的坐标，利用导数求出PB的方程，求出A、B的坐标，即可证明|PA|=|AB|；
（Ⅱ）若过F、A的直线交准线l于C，求出C的坐标，即可通过线段相等，与斜率关系证明：四边形PFBC为菱形．
证明：（Ⅰ）抛物线x2=2py的焦点为F（0，），准线为l：y=-，过抛物线上一点P（a，b）（不过原点），做抛物线的切线，利用导数可得它的斜率为：；切线方程为：y-b=，分别交x轴于A（，0），
y轴于B点（0，）．|PA|===，
|AB|==；
所以：|PA|=|AB|；
（Ⅱ）FA的方程：，所以C的坐标（，），显然A是FC的中点，
|PF|==．
|FB|==．
所以四边形是邻边相等的平行四边形，所以是四边形PFBC为菱形．