Question

如图1所示，在边长为12的正方形ADD₁A₁中，点B，C在线段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点B₁，P，作CC₁∥AA₁，分别交A₁D₁，AD₁于点C₁，Q，将该正方形沿BB₁，CC₁折叠，使得DD₁与AA₁重合，构成如图2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求证：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCQP的体积；

Answer

（1）根据折叠前后的线段长度，得出AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC，因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，所以AB⊥BB1，可以证出AB⊥平面BCC1B1．
（2）由（1）AB为四棱锥A-BCQP的高．四边形BCQP为直角梯形，利用锥体体积计算公式计算即可．
（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：在正方形ADD1A1中，因为CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC的边AC=5．
因为AB=3，BC=4，所以AB2+BC2=AC2，所以AB⊥BC．…（2分）
因为四边形ADD1A1为正方形，AA1∥BB1，所以AB⊥BB1，而BC∩BB1=B，
所以AB⊥平面BCC1B1． …（7分）
（Ⅱ）【解析】
因为AB⊥平面BCC1B1，
所以AB为四棱锥A-BCQP的高．
因为四边形BCQP为直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以梯形BCQP的面积为．
所以四棱锥A-BCQP的体积． …（14分）