Question

已知椭圆C的对称中心为坐标原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁，F₂，且|F₁F₂|=2，点在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C上的一点p在第一象限，且满足PF₁⊥PF₂，⊙O的方程为x²+y²=4．求点p坐标，并判断直线pF₂与⊙O的位置关系；
（3）设点A为椭圆的左顶点，是否存在不同于点A的定点B，对于⊙O上任意一点M，都有为常数，若存在，求所有满足条件的点B的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）设出椭圆的标准方程，根据题意可求得焦点坐标，根据椭圆的定义和点（，）求得2a，进而根据a和c求得b，则椭圆的方程可得．
（2）设点P的坐标为（x，y），根据PF1⊥PF2，可得=0，把x和y代入整理可得方程与椭圆方程联立求得x和y，即点P的坐标．进而可得直线PF2的方程，进而可求得⊙O圆心O到直线PF2的距离正好等于半径，进而推断直线PF2与⊙O相切．
（3）设点M的坐标为（x，y），假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有为常数，则可表示出|MB|2和|MA|2，代入中，进而可得求得m，n和λ，求得点B的坐标．
【解析】
（1）设椭圆的方程为，（a＞b＞0），由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F1（，0），F2（，0）
由点（，）在该椭圆上，
∴2a=+=6．
∴a=3
又c=得b2=9-5=4，
故椭圆的方程为=1．
（2）设点P的坐标为（x，y）（x＞0，y＞0），则为．①
由PF1⊥PF2，得=0∴（x+）（x-）+y2=0
即x2+y2=5②
由①②联立结合x＞0，y＞0解得：x=，y=，即点P的坐标为（，）
∴直线PF2的方程为2x+y-2=0
∵圆x2+y2=4的圆心O到直线PF2的距离d==2
∴直线PF2与⊙O相切
（3）设点M的坐标为（x，y），则x2+y2=4
假设存在点B（m，n），对于⊙O上任意一点M，都有为常数，则
|MB|2=（x-m）2+（y-n）2，|MA|2=（x+3）2+y2
∴（常数）恒成立
可得（6λ+2m）x+2ny+13λ-m2-n2-4=0
∴
∴或（不合舍去）
∴存在满足条件的点B，它的坐标为（-，0）．