Question

若函数f（x）=e^x-ax（e为自然对数的底）
（1）若a=1，求函数f（x）的最小值；
（2）对任意实数x都有f（x）≥1，求实数a的值．

Answer

（1）先求导，确定函数的单调区间，进而可求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥1在x∈R上恒成立，即f（x）的最小值大于等于1，转化为求函数的最小值问题．利用导数求解．
【解析】
（1）由f'（x）=ex-1知，令f'（x）=ex-1=0知，x=0，
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0，当x∈（0，+∞），f'（x）＞0，
因此，当x=0，函数f（x）的最小值为f（0）=1；
（2）∵f'（x）=ex-a，若a≤0，则f'（x）=ex-a＞0，
∴函数f（x）=ex-ax在（-∞，+∞）上是增函数，而f（0）=1，
∴当x＜0时，f（x）＜f（0），即f（x）＜1，这与对任意实数x都有f（x）≥1相矛盾；
∴a＞0，由f'（x）=ex-a=0得x=lna，
当x∈（-∞，lna）时，f'（x）＜0，当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0
所以x=lna时，f（x）=ex-ax取得最小值a-alna，
要满足对任意实数x都有f（x）≥1，必需且只需a-alna≥1（*）
令φ（x）=x-xlnx，则φ'（x）=-lnx，
当0＜x＜1时，φ'（x）=-lnx＞0，当x＞1时，则φ'（x）=-lnx＜0，
则x=1时，φ（x）=x-xlnx有最大值1，
即对任意正数a都有a-alna≤1，（**）当且仅当a=1时等号成立
由（*）、（**）得a-alna=1，此时a=1；
综上：所求实数a的值为a=1．