Question

已知点列B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），…，A_n（x_n，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求证：对任意的n∈N*，x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（Ⅱ）问是否存在等腰直角三角形A_nB_nA_n+1？请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形，则有|AnBn|=|An+1Bn|得到xn+1+xn=2n，从而有xn+2+xn+1=2（n+1）两式作差求解．
（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形AnBnAn+1，．在Rt△AnBnAn+1中，．由n为正奇数时，|xn+1-xn|=2（1-a），故有，即即0＜n＜4．n=1，3使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．当n为正偶数时，|xn+1-xn|有，即，当n=2时，使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．
【解析】
（Ⅰ）由题意得，An（xn，0），An+1（xn+1，0），
∵点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形，
∴|AnBn|=|An+1Bn|，即
得xn2-2nxn=xn+12-2nxn+1⇒（xn+1-xn）（xn+1+xn）=2n（xn+1-xn）
又∵xn+1≠xn，∴xn+1+xn=2n，①
则xn+2+xn+1=2（n+1）②
由②-①得，xn+2-xn=2，即xn+2-xn是常数．（6分）
即所列{x2k-1}，{x2k}（k∈N*）都是等差数列．
（注：可以直接由图象得到，即xn+xn+1=2n，（n∈N*））
当n为正奇数时，，
当n为正偶数时，由x2+x1=2得，x2=2-a，故，
∴．（8分）
（Ⅱ）假设存在等腰直角三角形AnBnAn+1，由题意∠AnBnAn+1=90°．
在Rt△AnBnAn+1中，．（10分）
当n为正奇数时，xn=a+n-1，xn+1=n+1-a，
∴|xn+1-xn|=|n+1-a-a-n+1|=|2-2a|=2（1-a），故有，即，
又∵0＜a＜1，∴0＜1-a＜1，∴，即0＜n＜4，
∴当n=1，3时，使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．（12分）
当n为正偶数时，xn=n-a，xn+1=a+n+1-1=a+n，
∴|xn+1-xn|=|a+n-n+a|=|2a|=2a，故有，即，
又∵0＜a＜1，∴，即0＜n＜4，
∴当n=2时，使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．（14分）
综上所述，当n=1，2，3时，使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形．（16分）