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已知点列B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)...

已知点列B1(1,y1),B2(2,y2),…,Bn(n,yn),…(n∈N*)顺次为直线manfen5.com 满分网上的点,点列A1(x1,0),A2(x2,0),…,An(xn,0),…(n∈N*)顺次为x轴上的点,其中x1=a(0<a<1),对任意的n∈N*,点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形.
(Ⅰ)求证:对任意的n∈N*,xn+2-xn是常数,并求数列{xn}的通项公式;
(Ⅱ)问是否存在等腰直角三角形AnBnAn+1?请说明理由.
(Ⅰ)由点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形,则有|AnBn|=|An+1Bn|得到xn+1+xn=2n,从而有xn+2+xn+1=2(n+1)两式作差求解. (Ⅱ)假设存在等腰直角三角形AnBnAn+1,.在Rt△AnBnAn+1中,.由n为正奇数时,|xn+1-xn|=2(1-a),故有,即即0<n<4.n=1,3使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形.当n为正偶数时,|xn+1-xn|有,即,当n=2时,使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形. 【解析】 (Ⅰ)由题意得,An(xn,0),An+1(xn+1,0), ∵点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形, ∴|AnBn|=|An+1Bn|,即 得xn2-2nxn=xn+12-2nxn+1⇒(xn+1-xn)(xn+1+xn)=2n(xn+1-xn) 又∵xn+1≠xn,∴xn+1+xn=2n,① 则xn+2+xn+1=2(n+1)② 由②-①得,xn+2-xn=2,即xn+2-xn是常数.(6分) 即所列{x2k-1},{x2k}(k∈N*)都是等差数列. (注:可以直接由图象得到,即xn+xn+1=2n,(n∈N*)) 当n为正奇数时,, 当n为正偶数时,由x2+x1=2得,x2=2-a,故, ∴.(8分) (Ⅱ)假设存在等腰直角三角形AnBnAn+1,由题意∠AnBnAn+1=90°. 在Rt△AnBnAn+1中,.(10分) 当n为正奇数时,xn=a+n-1,xn+1=n+1-a, ∴|xn+1-xn|=|n+1-a-a-n+1|=|2-2a|=2(1-a),故有,即, 又∵0<a<1,∴0<1-a<1,∴,即0<n<4, ∴当n=1,3时,使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形.(12分) 当n为正偶数时,xn=n-a,xn+1=a+n+1-1=a+n, ∴|xn+1-xn|=|a+n-n+a|=|2a|=2a,故有,即, 又∵0<a<1,∴,即0<n<4, ∴当n=2时,使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形.(14分) 综上所述,当n=1,2,3时,使得三角形AnBnAn+1为等腰直角三角形.(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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