Question

定义：，设（x∈R，k为正整数）
（1）分别求出当k=1，k=2时方程f（x）=0的解
（2）设f（x）≤0的解集为[a_2k-1，a_2k]，求a₁+a₂+a₃+a₄的值及数列{a_n}的前2n项和
（3）对于（2）中的数列{a_n}，设，求数列{b_n}的前n项和T_n的最大值．

Answer

（1）根据定义化简函数f（x）的解析式，然后根据一元二次方程求出当k=1，k=2时方程f（x）=0的解即可；
（2）由f（x）≤0即（x-3k）（x-2k）≤0的解集为[a2k-1，a2k]建立关系式，然后取k=1，k=2可求出a1+a2+a3+a4的值，最后根据S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）进行求解即可；
（3）k≥2时，，然后讨论n的奇偶，可知Tn的最大值必为Tn的偶数项，而n为偶数时，{Tn}在n∈N*上为递减数列，可求出Tn的最大值．
【解析】
（1）f（x）=x2-（3k+2k）x+3k•2k=（x-3k）（x-2k）
当K=1时f（x）=（x-3）（x-2），所以方程f（x）=0的解为x=2，x=3--（2分）
当K=2时f（x）=（x-6）（x-4），所以方程f（x）=0的解为x=6，x=4---（4分）
（2）由f（x）≤0即（x-3k）（x-2k）≤0的解集为[a2k-1，a2k]．
∴，-------（5分）
∴k=1时，a1+a2=3•1+21=5，k=2时，a3+a4=3•2+22=10．
∴a1+a2+a3+a4=5+10=15-------------（7分）
S2n=a1+a2+a3+a4+…+a2n-1+a2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）
=（3•1+21）+（3•2+22）+…+（3•k+2n）
=3（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）
==---------（9分）
（3）Tn=b1+b2+b3+…+bn==------（10分）
k≥2时，．n为奇数时，Tn-Tn-1＜0，即T3＜T2，T5＜T4，T7＜T6，…，Tn＜Tn-1，…，n为偶数时，Tn-Tn-1＞0，即T2＞T1，T4＞T3，T6＞T5，…，Tn＞Tn-1，…，
∴Tn的最大值必为Tn的偶数项
故当n为偶数时（n≥4）时，=．
∴n为偶数时，{Tn}在n∈N*上为递减数列.
∴．-------------（14分）