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已知数列{an}满足a1=2,前n项和为Sn,. (Ⅰ)若数列{bn}满足bn=...

已知数列{an}满足a1=2,前n项和为Snmanfen5.com 满分网
(Ⅰ)若数列{bn}满足bn=a2n+a2n+1(n≥1),试求数列{bn}前n项和Tn
(Ⅱ)若数列{cn}满足cn=a2n,试判断cn是否为等比数列,并说明理由;
(Ⅲ)当manfen5.com 满分网时,问是否存在n∈N*,使得(S2n+1-10)c2n=1,若存在,求出所有的n的值;若不存在,请说明理由.
(1)由已知中bn=a2n+a2n+1(n≥1),结合.可得数列是一个等差数列,求出其通项公式后,进一步可得数列{bn}前n项和Tn; (Ⅱ)当p=时,我们易得数列{cn}是一个等比数列,但是当时,数列{cn}不为等比数列,根据等比数列的定义,代入易验证结论. (III)根据(I)、(II)的结论,我们可以根据(S2n+1-10)c2n=1,构造一个关于n的方程,利用导数法,我们可以求出方程的根,即可得到结论. 【解析】 (Ⅰ)据题意得bn=a2n+a2n+1=a2n-a2n-2×2n=-4n,所以{bn}成等差数列,故Tn=-2n2-2n(4分) (Ⅱ)当时,数列{cn}成等比数列;当时,数列{cn}不为等比数列 理由如下:因为cn+1=a2n+2=pa2n+1+2n=p(-a2n-4n)+2n=-pcn-4pn+2n, 所以,故当时,数列cn是首项为1,公比为等比数列; 当时,数列{cn}不成等比数列(9分) (Ⅲ)当 时,,(10分) 因为S2n+1=a1+b1+b2+…+bn=-2n2-2n+2(n≥1)(12分) ∵(S2n+1-10)c2n=1, ∴4n2+4n+16=4n,设f(x)=4x-4x2-4x-16(x≥2), 则g(x)=f'(x)=4xln4-8x-4, ∴g'(x)=(ln4)24x-8>0(x≥2),且g(2)=f'(2)>0, ∴f(x)在[2,+∞)递增,且f(3)=0,f(1)≠0, ∴仅存在惟一的n=3使得(S2n+1-10)c2n=1成立(16分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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