Question

已知函数f（x）=log₃x．
（Ⅰ）若关于x的方程f（ax）•f（ax²）=f（3）的解都在区间（0，1）内，求实数a的范围；
（Ⅱ）若函数f（x²-2ax+3）在区间[2，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由条件可得2（log3x）2+3log3a•log3x+log32a-1=0，令t=log3x，可得方程2t2+3log3a•t+log32a-1=0的
两根为负，由判别式大于或等于0及两根之和小于0、两根之积大于0，求出实数a的范围．
（Ⅱ）由题意可得g（x）=x2-2ax+3在[2，+∞）上大于零且单调递增，，由此求得正实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵f（ax）f（ax2）=f（3），∴log3ax•=log33，
∴（log3a+log3x）（log3a+2log3x）=1，∴2（log3x）2+3log3a•log3x+log32a-1=0．
令t=log3x，∵0＜x＜1，∴t＜0．∴方程2t2+3log3a•t+log32a-1=0的两根为负．
∴△=（3log3a）2-8（log32a-1）≥0，，
，∴．…（7分）
（Ⅱ）∵函数f（x2-2ax+3）=log3（x2-2ax+3）在[2，+∞）上单调递增，
∴g（x）=x2-2ax+3在[2，+∞）上大于零且单调递增，
，∴．…（12分）