Question

已知椭圆的左焦点F₁，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，若则椭圆的离心率为    ．

Answer

法一：由题设条件及，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，又知Q点在∠PF1O角平分线上，从而得出四边形PF1F2Q是一个菱形，从而得出PF1=2c，PF2=2a-2c，再由椭圆的第二定义建立等式解出离心率的值；
法二：由题设条件及，可知PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，又知Q点在∠PF1O角平分线上由此，可用正切的2倍角公式建立方程求e
解法一：∵椭圆的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，
又知Q点在∠PF1O角平分线上，故有∠PF1O=2∠QF1O
由于PQF1F2，故四边形PF1F2Q是一个平行四边形，结合对角线是角平分线知，四边形PF1F2Q是菱形，可得PF1=2c
由此得PF2=2a-2c
由椭圆的第二定义知=，解得e=
故答案为
解法二：∵椭圆的左焦点F1，O为坐标原点，点P在椭圆上，点Q在椭圆的右准线上，，∴PQ平行于x轴，且P点的横坐标为，
又知Q点在∠PF1O角平分线上，故有∠PF1O=2∠QF1O
令P（，y），Q（，y），故=，
又tan∠PF1O=tan2∠QF1O=，即①
又由及a2=b2+c2，P（，y），解得代入①整理得
e=
故答案为e=